Parábolas

• Una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.
• f(x) = ax² + bx +c

1.  Vértice:

                            

• Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola.
• La ecuación del eje de simetría es:
• 

  2. Puntos de corte con el eje OX:

• En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
• ax² + bx +c = 0

  3. Punto de corte con el eje OY:

• En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
• f(0) = a· 0² + b· 0 +c = c        

  4. Translaciones de parábolas:

• También podemos representar parábolas a partir de las translaciones de la función: 
• y = x²
• Ejemplo:

  4.1. Translación vertical:

• y = x² + k
• Si K > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades.
• Si K < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades.
• El vértice de la parábola es: (0, k).
• El eje de simetría x = 0.
• Ejemplo:
•                 y = x² +2
  
  
  

  4.2. Translación horizontal

• y = (x + h)²
• Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades.
• Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades.
• El vértice de la parábola es: (-h, 0).
• El eje de simetría es x = -h.
• Ejemplo:             

                            

 

y = (x + 2)²

                  

 

 

5. Ejercicios:

1.

2. 

3. 

Circunferencias

• Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio.
• El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. 
• La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio.

Elementos:

• centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
• radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.
• diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro.
• cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros.
• recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos.
• recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto.
  • arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
• semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Ecuaciones en el plano cartesiano:

Ejemplos:

Relación de paralelismo y perpendicularidad entre rectas

Ecuación de la recta

• La ecuación explícita de una recta tiene forma y=mx+n donde m es la pendiente de la recta y n el término independiente. 
• En el siguiente ejercicio te proponemos, que bien conociendo la pendiente m y un punto P por el que pasa determines m y n, o bien conociendo dos puntos determinar m y n. 
• Recuerda que si tienes dos puntos puedes sustituirlos en la ecuación y plantear un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas (m y n). 

• Ejercicio:

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = - 5.

• Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
• Usa la información que te dan: m = - 5 y sustituye en la ecuación:

                                            y = - 5x + b

• Ahora tienes que buscar b; usa el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que estas buscando. Sustituye esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estas buscando: 2 = - 5 ( 1 ) + b.
• Despeja la variable b en: 2 = - 5 ( 1 ) + b

2 = - 5 + b

2 + 5 = b

b = 7

• Sustituye el valor de b en la ecuación que estas buscando: y = - 5x + 7
• La ecuación es y = - 5x + 7.

Angulo de inclinación

• Un ángulo formado por una línea horizontal y una línea de visión por arriba de ella que mide menos de 90 grados.

• Ejemplo: 

Lugar geométrico

• Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.
•  Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
• Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.

• Ejercicio: 

1.       Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (2, -3) y que es tangente a la recta 3x - 4y + 5 = 0.

     2.      

                          

Cálculo de áreas en el plano cartesiano

• Sea A1, A2, A3,........, An, un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido anti horario, tiene como coordenadas:

• Entonces el área de la región poligonal "S" correspondiente, es el valor absoluto de la expresión:

• De donde: 

• Por lo tanto:

• Llamada también formula determinante de Gauss.
• Ejercicio:

División de un segmento en una razón dada

• El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. 
• Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.
• La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuantas veces la una contiene a la otra.
• En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.
• Ejercicios:

1. Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A ( 1, 1) y B (11, 6) en una razón tal que:

   De acuerdo a la relación planteada, se pueden aplicar las fórmulas              obtenidas:

....ºDe manera similar: y = 3; por lo que las coordenadas del punto buscado ....ºson: P (5, 3)

   2.  ¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A (-1, -3) y B(5, 6) en 3 partes iguales? 

Punto medio de un segmento

• Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son

• Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semi - suma de las coordenadas de de los puntos extremos. 

• Por lo tanto, la formula que se utiliza para hallar el punto medio es la siguiente:

• Ejercicios: 
• Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

•    Hallar las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A (1, 1) y B (11, 6). 
  
  
  

Distancia entre dos puntos

• Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
• Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

• Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
• Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

 

• Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.
• Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades